I.

Bạn đang xem: Sai phân là gì

Các tư tưởng cơ bạn dạng 1. Hàm số đối số nguyên Hàm bao gồm tập khẳng định trực thuộc Z hotline là hàm số bao gồm đối số nguim. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không đúng phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên nhị giá trị tiếp nối nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cung cấp m của hàm số Un là không đúng phân của sai...


*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các có mang cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm bao gồm tập xác minh thuộc Z Điện thoại tư vấn là hàm số tất cả đối số nguim.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = simãng cầu (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên nhì quý hiếm kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là không nên phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số kia : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn không đúng phân cung cấp 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta có thể trình diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không nên phân Định nghĩa : là PT với hàm số buộc phải tìm kiếm là một hàm đối số rời rộc f (n) = Un tất cả mặtbên dưới dạng không đúng phân các cấp.PT sai phân cấp cho m tất cả dạng tổng thể : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT không nên phân là hàm số đối số tránh rốc Un =f(n) mà lại lúc cụ Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng bộ thức bên trên tập hòa hợp các số nguyên ổn n0.Nghiệm tổng thể của một PT không đúng phân cấp cho n có dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kể, Khi gán cho từng kí từ C1, C2,...,Cn một vài xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT không nên phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không nên phân tuyến tính1. Phương thơm trình không nên phân tuyến tính cấp 1Định nghĩa: Là phương thơm trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un với Un+một là nhì cực hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguyên đề xuất tìm kiếm.Nếu an cùng bn là những hằng số thì ta có phương thơm trình không nên phân hệ số hằng.Phương thơm trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) Gọi là phương thơm trình thuần tốt nhất tương xứng của (1).Ví dụ:Một quý khách hàng gồm số chi phí là A đồng, rước gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí, lãi xuất từng tháng là 1%.Lập quy mô về tình hình chi phí vốn của khách hàng. 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Pmùi hương trình sai phân cung cấp caoa. Phương trình không nên phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là các hằng số thì ta gồm phương trình sai phân thông số hằng.Nếu fn = 0 thì ta bao gồm pmùi hương trình thuần tuyệt nhất liên kếtung.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một trong nghiệm của PT không đúng phân đường tính không thuần tuyệt nhất với U1n, U2n là 2nghiệm độc lập con đường tính của PT thuần độc nhất vô nhị link thì nghiệm bao quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã đến Fibonacci một bài bác toán như sau: “Hômni, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi ban đầu đẻ cùng tiếp đến mỗimon đẻ một lứa, từng lứa là 1 cặp thỏ. Hết năm, tôi bao gồm từng nào cặp thỏ ?”Giải: Call Fn là số cặp thỏ dành được sinh hoạt mon thứ n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ tất cả số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 cùng với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương thơm trình không nên phân cấp cho kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính cung cấp 1 hệ số hằng1. Phương thơm trình không đúng phân tuyến đường tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm bao quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân sinh Hà Nội Thủ Đô là 1 trong,6 triệu con người, tốc độ tăng dân sinh là 1% 1 năm. Hỏisố lượng dân sinh Hà Thành năm 2050 là bao nhiêu?Giải: điện thoại tư vấn un là số lượng dân sinh TP.. hà Nội năm thiết bị n + 1990 1Ta gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Pmùi hương trình không nên phân tuyến đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) cùng với q 0. PT thuần độc nhất vô nhị link Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 trong nghiệm của PT sai phân con đường tính ko thuần độc nhất vô nhị (1) với U1n là mộtnghiệm của PT thuần độc nhất vô nhị liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa search nghiệm riêng biệt của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng biệt là = qn.IV. Phƣơng trình không đúng phân con đường tính cấp cho 2 thông số hằng1. Pmùi hương trình không đúng phân đường tính thuần tốt nhất :Xét phương thơm trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn hòa bình tuyến đường tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng biệt chủ quyền con đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng thể của (3).Chứng minh:Điện thoại tư vấn Un là 1 trong những nghiệm ngẫu nhiên của (3). Ta chứng tỏ rằng mãi sau Au và Bu sao để cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm độc nhất Au với Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minch bằng quy hấp thụ, ta gồm Un = Au.xn + Bu.yn phần nhiều nghiệm của (3) số đông trình diễn qua xn cùng yn đ.p.c.mTa tra cứu nghiệm riêng biệt dưới dạng xn = λn (λ 0).

Xem thêm: Thanh Toán Một Lần ( Lump Sum Là Gì, Lump Sum / Số Tiền Tính Gộp Cả Lãi

Ttuyệt vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Pmùi hương trình (4) Điện thoại tư vấn là phương trình đặc thù của (3).Trường thích hợp 1: Nếu (4) có nhì nghiệm thực rõ ràng λ1 và λ2 (3) tất cả nhì nghiệmriêng biệt chủ quyền tuyến đường tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường vừa lòng 2: Nếu (4) bao gồm nghiệm knghiền là λ0, (3) gồm hai nghiệm riêng biệt hòa bình tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường đúng theo 3: Nếu (4) bao gồm nhị nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) cùng với r = A2 + B2 cùng α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) tất cả nhị nghiệm riêng rẽ tự do tuyến đường tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng thể Un = rn . 4lấy ví dụ như 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương thơm trình quánh trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 cùng λ2 = 2Vậy nghiệm tổng thể un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ phương thơm trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 với B = -1. nVậy nghiệm riêng biệt vừa lòng là un = 2 – 2 5lấy ví dụ như 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 và λ2 = 2 1Vậy nghiệm bao quát un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng biệt nên tìm kiếm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Pmùi hương trình sệt trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm bao quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương thơm trình quánh trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng đề xuất tra cứu là un = 1 + nVí dụ 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = Acos 3 + Bsin 3lấy một ví dụ 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ pmùi hương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 và B = 0. n.Vậy nghiệm riêng rẽ đề xuất tìm kiếm là un = 2n.cos 32. Phương thơm trình không nên phân con đường tính không thuần nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tra cứu nghiệm riêng biệt U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn lúc p -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * khi p = -2 thì nghiệm riêng biệt là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần tốt nhất link ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Trường hòa hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét sống dạng tổng thể mang lại PT không nên phân tuyếntính hệ số hằng cấp cho k.V. Phƣơng trình không nên phân đường tính cấp cho k thông số hằng.1. Phương trình không nên phân đường tính thuần độc nhất cung cấp k thông số hằng:Là phương trình tất cả dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta kiếm tìm nghiệm riêng bên dưới dạng Un = λn, nắm vào (6) ta tất cả phương thơm trình quánh trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường đúng theo 1: Nếu (7) có k nghiệm thực tách biệt λ1, λ2, … λk ta bao gồm k nghiệmriêng biệt tự do đường tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng thể : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường thích hợp 2:Nếu (7) tất cả nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 gồm bội s với k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế sửa chữa s nghiệm riêng rẽ x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường hòa hợp 3: Nếu phương thơm trình (7) tất cả nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) với k-2 nghiệm thực riêng biệt, khiđó tương xứng ta sửa chữa thay thế x1n = rn.cosnα với x2n = rn.sinnα vào nghiệm tổng quát.Nghiệm tổng quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknlấy ví dụ như 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Pmùi hương trình đặc trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 cùng λ3 = 5Vậy nghiệm tổng thể un = A1.2n + A2.3n + A3.5nlấy ví dụ như 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 và λ3 = 3Vậy nghiệm tổng thể un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương thơm trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 cùng C = -5.Vậy nghiệm riêng bằng lòng là un = (5 + 3n).2n – 5.3nlấy ví dụ 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương thơm trình sệt trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương thơm trình không đúng phân tuyến tính không thuần tuyệt nhất cấp k hệ số hằngLà pmùi hương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong đó a0, a1, …, ak là những số thực, fn 0n.Pmùi hương trình thuần tuyệt nhất tương xứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng quát của pmùi hương trình (8) bởi nghiệm tổng thể của phươngtrình (6) cộng cùng với nghiệm riêng biệt ngẫu nhiên của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng thể của (6) cùng xn là nghiệm riêng biệt của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.trái lại hiệu 2 nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8) cũng là nghiệm riêng rẽ của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng vớinghiệm riêng biệt ngẫu nhiên của (8).Cách tìm kiếm nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường thích hợp 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cung cấp s của phương trình đặc trưng ( s hoàn toàn có thể thừa nhận giá trị 0) thìnghiệm riêng rẽ bao gồm dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) cùng search ci bằng phươngpháp hệ số biến động. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương thơm trình đặc thù thì nghiệm riêng biệt gồm dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 và tra cứu Ci bằng cách thức thông số cô động. fn = Pm(n).βnTrường phù hợp 2: Nếu λ = β là nghiệm cấp s của pmùi hương trình đặc trưng (s hoàn toàn có thể thừa nhận quý giá 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, cầm vào phương thơm trình kiếm tìm Qm(n) bởi phươngpháp thông số cô động. Nếu λ = β không là nghiệm của pmùi hương trình đặc thù thì nghiệm riêng biệt có dạngxn= Qm(n).βn, cầm vào pmùi hương trình search Qm(n) bởi phương pháp hệ số cô động. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường hòa hợp 3: Ta tìm kiếm nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng biệt ứng cùng với f1(n) = Rl(n) (mang về ngôi trường hợp 1) và x2n lànghiệm riêng ứng cùng với f2(n) = Pm(n).βn (đem đến trường hợp 2). 5lấy ví dụ 1: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta tìm kiếm nghiệm riêng rẽ dạng xn= an2 + bn+ cTgiỏi vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng độc nhất vô nhị hệ số a = -2, b =2 cùng c = -10lấy một ví dụ 2: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Pmùi hương trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = 1 là nghiệm đơn ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương thơm trình a = 1, b = c = 0 5lấy ví dụ như 3: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương thơm trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 ta search nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Txuất xắc vào pmùi hương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nlấy ví dụ như 4: Tìm một nghiệm riêng biệt của pmùi hương trìnhBài làm: Phương trình đặc thù λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 với λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm solo ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= A.n.2n 1 -nTxuất xắc vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nlấy ví dụ 5: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương thơm trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 với ví dụ 3 nghiệm riêng biệt xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình sai phân 9