I.
Bạn đang xem: Sai phân là gì
Các tư tưởng cơ bạn dạng 1. Hàm số đối số nguyên Hàm bao gồm tập khẳng định trực thuộc Z hotline là hàm số bao gồm đối số nguim. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không đúng phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên nhị giá trị tiếp nối nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cung cấp m của hàm số Un là không đúng phân của sai...
CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các có mang cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm bao gồm tập xác minh thuộc Z Điện thoại tư vấn là hàm số tất cả đối số nguim.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = simãng cầu (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên nhì quý hiếm kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là không nên phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số kia : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn không đúng phân cung cấp 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta có thể trình diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không nên phân Định nghĩa : là PT với hàm số buộc phải tìm kiếm là một hàm đối số rời rộc f (n) = Un tất cả mặtbên dưới dạng không đúng phân các cấp.PT sai phân cấp cho m tất cả dạng tổng thể : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT không nên phân là hàm số đối số tránh rốc Un =f(n) mà lại lúc cụ Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng bộ thức bên trên tập hòa hợp các số nguyên ổn n0.Nghiệm tổng thể của một PT không đúng phân cấp cho n có dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kể, Khi gán cho từng kí từ C1, C2,...,Cn một vài xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT không nên phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không nên phân tuyến tính1. Phương thơm trình không nên phân tuyến tính cấp 1Định nghĩa: Là phương thơm trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un với Un+một là nhì cực hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguyên đề xuất tìm kiếm.Nếu an cùng bn là những hằng số thì ta có phương thơm trình không nên phân hệ số hằng.Phương thơm trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) Gọi là phương thơm trình thuần tốt nhất tương xứng của (1).Ví dụ:Một quý khách hàng gồm số chi phí là A đồng, rước gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí, lãi xuất từng tháng là 1%.Lập quy mô về tình hình chi phí vốn của khách hàng. 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Pmùi hương trình sai phân cung cấp caoa. Phương trình không nên phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là các hằng số thì ta gồm phương trình sai phân thông số hằng.Nếu fn = 0 thì ta bao gồm pmùi hương trình thuần tuyệt nhất liên kếtung.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một trong nghiệm của PT không đúng phân đường tính không thuần tuyệt nhất với U1n, U2n là 2nghiệm độc lập con đường tính của PT thuần độc nhất vô nhị link thì nghiệm bao quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã đến Fibonacci một bài bác toán như sau: “Hômni, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi ban đầu đẻ cùng tiếp đến mỗimon đẻ một lứa, từng lứa là 1 cặp thỏ. Hết năm, tôi bao gồm từng nào cặp thỏ ?”Giải: Call Fn là số cặp thỏ dành được sinh hoạt mon thứ n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ tất cả số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 cùng với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương thơm trình không nên phân cấp cho kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính cung cấp 1 hệ số hằng1. Phương thơm trình không đúng phân tuyến đường tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm bao quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân sinh Hà Nội Thủ Đô là 1 trong,6 triệu con người, tốc độ tăng dân sinh là 1% 1 năm. Hỏisố lượng dân sinh Hà Thành năm 2050 là bao nhiêu?Giải: điện thoại tư vấn un là số lượng dân sinh TP.. hà Nội năm thiết bị n + 1990 1Ta gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Pmùi hương trình không nên phân tuyến đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) cùng với q 0. PT thuần độc nhất vô nhị link Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 trong nghiệm của PT sai phân con đường tính ko thuần độc nhất vô nhị (1) với U1n là mộtnghiệm của PT thuần độc nhất vô nhị liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa search nghiệm riêng biệt của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng biệt là = qn.IV. Phƣơng trình không đúng phân con đường tính cấp cho 2 thông số hằng1. Pmùi hương trình không đúng phân đường tính thuần tốt nhất :Xét phương thơm trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn hòa bình tuyến đường tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng biệt chủ quyền con đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng thể của (3).Chứng minh:Điện thoại tư vấn Un là 1 trong những nghiệm ngẫu nhiên của (3). Ta chứng tỏ rằng mãi sau Au và Bu sao để cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm độc nhất Au với Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minch bằng quy hấp thụ, ta gồm Un = Au.xn + Bu.yn phần nhiều nghiệm của (3) số đông trình diễn qua xn cùng yn đ.p.c.mTa tra cứu nghiệm riêng biệt dưới dạng xn = λn (λ 0).
Xem thêm: Thanh Toán Một Lần ( Lump Sum Là Gì, Lump Sum / Số Tiền Tính Gộp Cả Lãi
Ttuyệt vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Pmùi hương trình (4) Điện thoại tư vấn là phương trình đặc thù của (3).Trường thích hợp 1: Nếu (4) có nhì nghiệm thực rõ ràng λ1 và λ2 (3) tất cả nhì nghiệmriêng biệt chủ quyền tuyến đường tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường vừa lòng 2: Nếu (4) bao gồm nghiệm knghiền là λ0, (3) gồm hai nghiệm riêng biệt hòa bình tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường đúng theo 3: Nếu (4) bao gồm nhị nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) cùng với r = A2 + B2 cùng α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) tất cả nhị nghiệm riêng rẽ tự do tuyến đường tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng thể Un = rn