Phương trình$9^{|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{8}}.\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2|x-\frac{1}{2}|+\frac{7}{4} \right )=0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$


Bạn đang xem: Nghiệm thực là gì

#2chanhquocnghiem


chanhquocnghiemĐại úy

Thành viên
*
1929 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Vũng TàuSở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Phương trình$9^{|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{8}}.\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2|x-\frac{1}{2}|+\frac{7}{4} \right )=0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$


Xem thêm: Khối Lượng Chất Rắn Khan Khi Cô Cạn Dung Dịch Là Gì, Cô Cạn Dung Dịch Nghĩa Là Gì

Phương trình đã cho tương đương với :

$3^{2|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{4}}.\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )=0$

$\Leftrightarrow 3^{2t+\frac{1}{4}}.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )-3^{\frac{1}{4}-t^2}.\log_2\left ( 2t+\frac{7}{4} \right )=0$ (*) (với $t=\left | x-\frac{1}{2} \right |\geqslant 0$)

Đặt vế trái của (*) là $f(t)$, ta có :

$f"(t)=3^{2t+\frac{1}{4}}.\ln 3.2.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )+3^{2t+\frac{1}{4}}.\frac{2t}{\left ( t^2+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}-\left < 3^{\frac{1}{4}-t^2}.\ln 3.(-2t).\log_2\left ( 2t+\frac{7}{4} \right )+3^{\frac{1}{4}-t^2}.\frac{2}{\left ( 2t+\frac{7}{4} \right ).\ln 2} \right >$

$=2\ln 3.3^{2t+\frac{1}{4}}.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )+\frac{3^{2t+\frac{1}{4}}.2t}{\left ( t^2+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}+2t.\ln 3.3^{\frac{1}{4}-t^2}.\log_2\left ( 2t+\frac{7}{4} \right )-\frac{2.3^{\frac{1}{4}-t^2}}{\left ( 2t+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}$

$\geqslant 2\ln 3.3^{2t+\frac{1}{4}}.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )-\frac{2.3^{\frac{1}{4}-t^2}}{\left ( 2t+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}$

(vì $t\geqslant 0$ nên 2 số hạng giữa không âm)

$\geqslant 2\ln 3.3^{\frac{1}{4}}.\log_2\left ( \frac{7}{4} \right )-\frac{2.3^{\frac{1}{4}}}{\frac{7}{4}.\ln 2}=\frac{2\ln 3.3^{\frac{1}{4}}.\ln\left ( \frac{7}{4} \right )}{\ln 2}-\frac{8.3^{\frac{1}{4}}}{7\ln 2}> 0,\forall t\geqslant 0$

Vậy hàm $f(t)$ đồng biến trên $<0;+\infty)$

Dễ thấy $f(0)=0$ $\Rightarrow$ (*) có nghiệm duy nhất là $t=0$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$ (đáp án $A$)


#3Chika Mayona


Chika MayonaThượng sĩ

Thành viên
*
281 Bài viếtGiới tính:NữĐến từ:Nana LandSở thích:Nothing

Phương trình đã cho tương đương với :

$3^{2|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{4}}.\log_2(x^2-x+2)=3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )$

$\Leftrightarrow (x^2-x+2)^{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}}}=\left ( 2\left | x-\frac{1}{4} \right |+\frac{7}{4} \right )^{3^{x-x^2}}$ (*)

Xét $3$ trường hợp :

a) $x^2-x+2> 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}> 1$

Khi đó $2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}\geqslant -2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}> x^2-x$

$\Rightarrow (x^2-x+2)^{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}}}> \left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )^{3^{x-x^2}}$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}> x^2-x+2> 1$

Khi đó $x-x^2> 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}\geqslant -2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )^{3^{x-x^2}}> (x^2-x+2)^{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}}}$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $x^2-x+2=2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}> 1$

Khi đó (*) tương đương với :

$\left\{\begin{matrix}x^2-x+2=2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}\\2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}=x-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-x=2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}\\\left | x-\frac{1}{2} \right |=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Chọn đáp án $A$.


Em cảm ơn ạ. Nhân tiện anh cho em hỏi có cách nào bấm máy những bài này hoặc mẹo nhìn nhanh những bài như thế này ko ạ?