Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được Hotline là ma trận đơn vị chức năng giả dụ A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận thấy ma trận bên trên là mãi mãi. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK trên gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cung cấp n


Bên cạnh đó, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, đưa sử bao gồm nhị ma trận đơn vị I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề xuất I.I’ = I’.I = I’

với I’ là ma trận đơn vị phải I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 trong những ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, giả dụ sống thọ một ma trận B vuông cung cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. khi đó, B được Điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là tốt nhất, do mang sử sống thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có không ít giáo trình nước ngoài đã đề cập tới định nghĩa khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.

Thật vậy, mang lại A là ma trận cấp m x n bên trên ngôi trường số K. khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái ví như lâu dài ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như sống thọ ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc ấy, đương nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái với khả nghịch yêu cầu.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập thích hợp những ma trận vuông cấp cho n trên K khả nghịch, được cam kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch bởi vì với tất cả ma trận vuông cấp cho 2 ta hồ hết có:

*
Nhận xét: Ma trận gồm tối thiểu 1 chiếc không (hoặc cột không) các ko khả nghịch.

Xem thêm: Khẩu Hiệu Hành Động Của Đại Hội Đại Biểu Hội Sinh Viên Trường Nhiệm Kỳ Viii (2015 – 2018) Là Gì?

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ minh chứng tác dụng bên trên nhé)

3. Mối quan hệ tình dục thân ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2) được Điện thoại tư vấn là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) trường hợp E thu được từ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phxay biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp dòng xuất xắc cột Gọi thông thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp mẫu (hay cột) đầy đủ khả nghịch và nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cung cấp mẫu.

Ta có thể khám nghiệm trực tiếp tác dụng bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 2


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). lúc kia, các xác định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được tự A vì một vài hữu hạn các phép chuyển đổi sơ cấp cho loại (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Quý khách hàng phát âm hoàn toàn có thể xem chứng tỏ định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Khi kia, những khẳng định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch lúc và chỉ lúc dạng thiết yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ bỏ A bởi một số trong những hữu hạn những phép chuyển đổi sơ cấp cái (cột); mặt khác, chủ yếu dãy những phnghiền biến đổi sơ cung cấp loại (cột) đó sẽ biến đổi In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bằng phép chuyển đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch hòn đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật tân oán này được kiến thiết dựa vào tác dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghxay thêm ma trận đơn vị chức năng cấp cho n I vào mặt nên ma trận A


*

Lập ma trận chi khối hận cung cấp n x 2n


Bước 2: Dùng các phnghiền đổi khác sơ cấp dòng để đưa < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số đó A’ là 1 trong ma trận bậc thang chính tắc.

Xem thêm: " Retained Earnings Là Gì ? Sử Dụng Lợi Nhuận Giữ Lại Như Thế Nào?

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi ví như A’ xuất hiện ít nhất 1 loại không thì lập tức tóm lại A ko khả nghịch (không cần phải gửi A’ về dạng thiết yếu tắc) với ngừng thuật tân oán.

lấy ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch hòn đảo của: